Собственник квартиры обязан следить за своим жильем, не допускать бесхозяйственного обращения с ним, соблюдать права и интересы соседей, правила пользования жилыми помещениями и правила содержания общего имущества согласно ч.4 ст. 30 ЖК РФ.
В ситуации с появившимися тараканами нарушение правил проживания на лицо. Тут и плохое санитарное состояние, и нарушение прав соседей.
Начать нужно с жалобы в Роспотребнадзор и местную администрацию. Лучше письменно и коллективно (или каждый сосед может подать аналогичные жалобы самостоятельно).
И конечно, вы можете обратиться в суд. Тут вам потребуется доказать ,что источником насекомых в доме является квартира конкретного жильца. Доказательствами могут быть показания свидетелей, акты осмотров от управляющей компании, заключение Роспотребнадзора и.т.д. Если суд поддержит ваши требования , а соседка продолжит игнорить санитарные нормы, берите в суде исполнительной лист и предъявите его приставам. За продолжающуюся антисанитарию с соседки можно потребовать в суде компенсацию ваших затрат и морального вреда.
Есть еще один вариант решения проблемы, но он значительно сложнее и категоричнее. При систематическом нарушении прав соседей или бесхозяйственном обращении с жильем местная администрация может вынести нерадивому жильцу предупреждение и потребовать устранения нарушений. Если ситуация не изменится, администрация вправе обратиться в суд о продаже жилья с публичных торгов. Суды довольно редко выносят такие решения, но прецеденты все же есть согласно ст. 293 ГК РФ.